矩阵-基本运算

1.矩阵的定义

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称m × n矩阵。记作:
这m×n 个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行第j列,称为矩阵A的(i,j)元,以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n,m×n矩阵A也记作Amn
元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

2.基本运算

矩阵的基本运算包括矩阵的加法,减法,数乘,转置,共轭和共轭转置。
2.1 加法

矩阵的加法满足下列运算律(ABC都是同型矩阵):
应该注意的是只有同型矩阵之间才可以进行加法。
2.2减法
2.3数乘
矩阵的数乘满足以下运算律:
矩阵的加减法和矩阵的数乘合称矩阵的线性运算。
2.4转置
把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵[9]  ,这一过程称为矩阵的转置

矩阵的转置满足以下运算律:

2.5共轭
矩阵的共轭定义为:

.一个2×2复数矩阵的共轭如下所示

2.6共轭转置
  矩阵的共轭转置定义为:

,也可以写为:

一个2×2复数矩阵的共轭如下所示:

2.7 乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如Am×n矩阵和Bn×p矩阵,它们的乘积C是一个m×p矩阵

,它的一个元素:

并将此乘积记为:

例如:
矩阵的乘法满足以下运算律:
结合律:

左分配律:

右分配律:

矩阵乘法不满足交换律
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